命題(Tietzeの拡張定理)
X を正規空間(過去スレ007の663)とし、Y をその閉部分集合とする。
f：Y → R を有界な連続写像とする。
ここで R は実数体である。
このとき連続写像 g：X → R で Y 上で g = f となり、
sup{|g(x)|；x ∈ X} = sup{|f(y)|；y ∈ Y} となるものが存在する。

証明
c = sup{|f(y)|；y ∈ Y} とおく。
A_0 = {y ∈ Y；f(y) ≦ -c/3}
B_0 = {y ∈ Y；f(y) ≧ c/3}
とおく。
A_0 と B_0 は閉集合だから Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、
連続関数 g_0 : X → [-c/3, c/3] で A_0 上で g_0 = -c/3 となり
B_0 上で g_0 = c/3 となるものがある。
X 上で |g_0| ≦ c/3
Y 上で |f - g_0| ≦ |f| + |g_0| ≦ c + c/3 = 2c/3

A_1 = {y ∈ Y；(f - g_0)(y) ≦ -2c/9}
B_1 = {y ∈ Y；(f - g_0)(y) ≧ 2c/9}
とおく。
連続関数 g_1 : X → [-2c/9, 2c/9] で A_1 上で g_1 = -2c/9 となり
B_1 上で g_1 = 2c/9 となるものがある。
X 上で |g_1| ≦ 2c/9
Y 上で |f - g_0 - g_1| ≦ 4c/9

以上の処理を繰り返して g_n、n = 0、1、．．．で
X 上で |g_n| ≦ (2^n)c/3^(n+1)
Y 上で |f - g_0 - ．．． - g_(n-1)| ≦ (2^(n+1))c/3^(n+1)
となるものが得られる。

(続く)