命題
C をアーベル圏とする。
C は積を持つ(過去スレ018の910)とする。
Z を C の対象とし、(X_i)_I を C の部分対象(過去スレ018の646)の小さい族とする。
p_i：Z → Z/X_i を標準射(>>151)とする。
f：Z → Π(Z/X_i) を f = <p_i> (過去スレ018の872)とする。

このとき、Ker(f) = ∩X_i (>>132)である。

証明
>>116の双対より、C は完備である。
よって、∩X_i が存在する。

K = Ker(f) とし、m：K → Z を標準単射とする。
fm = 0 だから各 i に対して (p_i)m = 0 である。
よって、K ≦ X_i である。
よって、K ≦ ∩X_i である。

一方、各 j に対して ∩X_i ≦ X_j であるから ∩X_i ≦ K である。
よって、K = ∩X_i である。
証明終