命題
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏とする。
C がAB5(>>121)を満たすためには C が次の条件を満たすことが必要十分である。

X を C の対象とし (X_i)_I を C の部分対象からなる小さい族で
任意の i, j ∈ I に対して X_i ≦ X_k かつ X_j ≦ X_k となる k ∈ I があるとする。
このとき ∪X_i = colim X_i となる。

証明
必要性：
>>149で証明済みである。

十分性：
>>148より、X の任意の部分対象 Y に対して (∪X_i) ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) となることを
証明すれば良い。

Z = ∪X_i とおく。
各 i ∈ I に対して次の完全列がある。

0 → X_i ∩ Y → X_i → Z/(Z ∩ Y)

>>113より colim は右完全(過去スレ019の660)である。
よって、colim (X_i ∩ Y) → colim X_i → Z/(Z ∩ Y) は完全である。

一方、仮定より、colim (X_i ∩ Y) = ∪(X_i ∩ Y)、colim X_i = Z である。
さらに、∪(X_i ∩ Y) ≦ Z である。

よって、0 → ∪(X_i ∩ Y) → Z → Z/(Z ∩ Y) は完全である。
よって、Z ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) である。
証明終