命題(Grothendieck)
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏とする。
C がAB5(>>121)を満たすためには C が次の条件を満たすことが必要十分である。

X を C の対象とし (X_i)_I を C の部分対象からなる小さい族で
任意の i, j ∈ I に対して X_i ≦ X_k かつ X_j ≦ X_k となる k ∈ I があるとする。
このとき X の任意の部分対象 Y に対して (∪X_i) ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) となる。

証明
必要性：
Z = ∪X_i とおく。
各 i ∈ I に対して次の完全列がある。

0 → X_i ∩ Y → X_i → Z/(Z ∩ Y)

AB5と>>149より次の完全列が得られる。
0 → ∪(X_i ∩ Y) → Z → Z/(Z ∩ Y)

よって、Z ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) である。

十分性：
>>148で証明済みである。
証明終