命題
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏とする。
C が次の条件を満たせば C はAB5(>>121)を満たす。

X を C の対象とし (X_i)_I を C の部分対象からなる小さい族で
任意の i, j ∈ I に対して X_i ≦ X_k かつ X_j ≦ X_k となる k ∈ I があるとする。
このとき X の任意の部分対象 Y に対して (∪X_i) ∩ Y = ∪(X_i ∩ Y) となる。

証明
I を小さいフィルター圏(>>97)とする。
>>113より colim：C^I → C は余極限を保存(過去スレ019の304)する。
過去スレ019の728より C^I はアーベル圏である。
よって、colim は右完全(過去スレ019の660)である。
よって、>>147より colim が単射を保存することを証明すれば良い。

α：F → G を C^I における単射とする。
K = Ker(colim(α)) とする。
各 i ∈ I に対して X_i = Im(F(i) → colim F) とおく。
I はフィルター圏であるから>>139より、
任意の i, j ∈ I に対して X_i ≦ X_k かつ X_j ≦ X_k となる k ∈ I がある。

>>146より colim F = ∪X_i である。
よって、仮定より K = (∪X_i) ∩ K = ∪(X_i ∩ K) である。
各 α_i：F(i) → G(i) は単射であるから X_i ∩ K = 0 である。
よって、K = 0 である。
よって、colim(α)：colim F → colim G は単射である。
証明終