命題
C と D をアーベル圏とし、F：C → D を右完全(過去スレ019の660)な関手とする。
F が完全(過去スレ019の661)であるためには F が単射を保存することが必要十分である。

証明
必要性：
X → Y を C における単射とする。
0 → X → Y は完全(過去スレ019の651)である。
過去スレ019の761より、0 → F(X) → F(Y) は完全である。
よって、F(X) → F(Y) は単射である。

十分性：
0 → X → Y → Z → 0 を C における任意の完全列(過去スレ019の651)とする。
過去スレ019の760より、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 が
完全であることを証明すれば良い。

F は右完全であるから過去スレ019の669の双対より、
F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
一方、F は単射を保存するから
0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
証明終