命題
C を余完備(過去スレ017の829)なアーベル圏(過去スレ019の533)とする。
I を任意の小さいフィルター圏(>>97)とする。
F：I → C を関手とする。
C は余完備であるから X = colim F (過去スレ018の847)が存在する。
各 i ∈ I に対して f_i：F(i) → X を標準射とする。
各 i ∈ I に対して X_i = Im(f_i) とおく。
C は余完備であるから>>144より、結び ∪X_i が存在する。

このとき X = ∪X_i である。

証明
Y = ∪X_i とおく。
m：Y → X を標準単射とする。
各 i ∈ I に対して X_i = Im(f_i) であるから
g_i：X_i → Y で f_i = mg_i となるものがある。
X = colim F であるから g：X → Y で各 i ∈ I に対して g_i = gf_i となるものがある。
各 i ∈ I に対して mgf_i = mg_i = f_i
一方、(1_X)f_i = f_i であるから mg = 1_X である。
よって、X ≦ Y (過去スレ018の648)である。
Y ≦ X であるから X = Y である。
証明終