Grothendieckは論文 Sur quelques points d'algebre homologique(東北大学 1957)
においてアーベル圏 C に関する条件として
Ab3、Ab4、Ab5と呼ばれる以下の条件を考えた。

Ab3：C は余完備(過去スレ017の829)である。

Ab4：C は余完備とする。
I を任意の小さい集合とする。
I は離散グラフ(過去スレ017の745)と見なせる。
過去スレ019の728より C^I はアーベル圏である。
このとき、F ∈ C^I に余積 ΣF を対応させる関手 Σ：C^I → C は
完全(過去スレ019の661)である。

Ab5：C は余完備とする。
I を任意の小さいフィルター圏(>>97)とする。
過去スレ019の728より C^I はアーベル圏である。
このとき、F ∈ C^I に colim F を対応させる関手 colim：C^I → C は完全である。

これ等の条件は現在でもそれぞれ Ab3、Ab4、Ab5 と呼ばれている。

因みに上記の論文では Ab1 と Ab2 は加法圏(過去スレ019の510) C に関する条件で
以下のものである。

Ab1：C における任意の射が核(過去スレ019の506)と余核(過去スレ019の506)を持つ。

Ab2：f：X → Y を C における任意の射とする。
　　標準射(過去スレ019の596) u：Coim(f) → Im(f) は同型である。

過去スレ019の634より加法圏 C がアーベル圏であるためには
C が Ab1と Ab2 を満たすことが必要十分である。

>>116と>>120より R-Mod は Ab5 を満たす。