主催者が合計N円の小切手を用意していたとすると、
一方の封筒には(1/3)N円、他方の封筒には(2/3)N円の小切手が入っていることになる。

２つの封筒の中身は全くわからないのであるから、どちらの封筒を選んだとしても、封筒に入っている小切手の金額の期待値に変わりはなく、
(1/2)*(2/3)N+(1/2)*(1/3)N=(1/2)N ･･･①
となる。

仮に、選んだ封筒に入っていた小切手の額が(2/3)Nだった場合、交換すると半分に減る。
(1/2)*(2/3)N ･･･②

仮に、選んだ封筒に入っていた小切手の額が(1/3)Nだった場合、交換すると2倍に増える。
2*(1/3)N ･･･③

そうすると、交換した場合の期待値は、
②*1/2と③*1/2を足して、
(1/2)*(1/2)*(2/3)N+2*(1/2)*(1/3)N=(1/2)N　･･･④
となる。

結局①と④は全く同じ値となり、
交換しても交換しなくても期待値は(1/2)Nとなる。