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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1441439719

数学専攻の学者ではありませんが、
数学を使って生活している人間の端くれとして回答させていただきます。

期待値の計算が間違っています。
最初に封筒に入っていた金額をX円とするとき、
相手は0.5X円である場合と2X円である場合の2通りですが、
それぞれの確率は1/2ではありません。
事象が2通りだからといって確率を1/2にしてしまうのは
あまりにも乱暴です。
自然数全体から無作為にXを選ぶ確率を、自然数の数で割って
求めようとすると、確率が0になって評価する事ができません。
このような場合には濃度という概念を使います。
Aさんは自然数全体から無作為に小さい方の数を選び、
大きい方の数は2倍にすることで自動的に決めるものとします。
（逆でも以下の議論は同様になりますので興味があればお試しください。）
すると、小さい方の数がX〜X+dXの範囲になる確率は、
大きい方の数が2X〜2X+2dXの範囲になる確率と同じです。
ところがこれらを見比べると、偏差がdXと2dXというように、
小さい方の数は大きい方の数より2倍も濃度が高いことが分かります。
つまり、封筒の中身がX円であったとき、
相手が0.5X円である確率は2/3、2X円である確率は1/3となります。
結局、期待値は、0.5X×2/3＋2X×1/3＝X
交換してもしなくても期待値は変わらないということです。
確率や統計を使った詐欺の種というのはいくらでもあるので、
うまい話には裏があると思うことが大切です。