どうしてもわからない問題があったので質問します。
f(x)=sin1/x(x≠0),0(x=0)
という関数のxにおける連続性は？
という問題です。
指導教員によれば、an=1/(π/2+2nπ),bn=1/(-π/2+2nπ)とおいて、
lim[n→∞]f(an)=1,lim[n→-∞]f(bn)=-1だからlim[x→0]f(x)は存在せず、f(x)はx=0で連続ではない。
だそうなんですが、理解できない点があります。
まず、lim[n→∞]f(an)=lim[n→∞]sin(π/2+2nπ)ですが、n→∞なので、lim[n→∞]f(an)の値は収束せず振動するのではないか、という点。
lim[n→-∞]f(bn)も同様の理由で、値は収束するのではなく振動するのではないかと思います。
また、そもそもなぜlim[n→∞]f(an)=1,lim[n→-∞]f(bn)=-1という二つの極限からlim[x→0]f(x)での連続性の有無を示すことができるのかも理解できません。
拙い文章で申し訳ないのですが、ぜひ解説してほしいです。
よろしくお願いします。