これでいい？

n = 2m + 1 (mは整数) とおく

　n^2 - 1
　= (2m + 1)^2 - 1
　= 4m^2 + 4m + 1 - 1
　= 4(m^2 + m)

ここで

　mが奇数のとき
　m^2, m は共に奇数なので、(m^2 + m) は偶数、つまり2の倍数
　よって、4(m^2 + m)は8の倍数　・・・(1)

　mが偶数のとき
　(m^2 + m) は偶数、つまり2の倍数
　よって、4(m^2 + m)は8の倍数　・・・(2)

(1), (2)より、 n^2-1 は 8の倍数　□