命題
C と D を前加法圏(>>504)とする。
F：C → D と G：D → C を関手とし、(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。

このとき、G が加法的(>>635)であれば F も加法的である。
さらに ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) はアーベル群の同型である。

証明
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
f：X → Y と g：X → Y を C における射とする。
η は自然変換であるから次の図式は可換である。

X　→ GF(X)
↓　　　↓
Y　→ GF(Y)

よって、
GF(f + g)η_X = η_Y(f + g) = (η_Y)f + (η_Y)g = GF(f)η_X + GF(g)η_X
= (GF(f) + GF(g))η_X = G(F(f) + F(g))η_X

よって、η_X の普遍性より F(f + g) = F(f) + F(g)
よって、F は加法的である。

次に、u：F(X) → M と v：F(X) → M を D における射とする。
ψ(u + v) = G(u + v)η_X = (G(u) + G(v))η_X = G(u)η_X + G(v)η_X = ψ(u) + ψ(v)
よって、ψ はアーベル群の同型である。
証明終