命題
Ab をアーベル群の圏とする。
C を前加法圏(>>504)とする。
C の任意の対象 X に対して関手 Hom(X, -)：C → Ab は極限を保存する(>>303)。

証明
>>306と同様であるが念のために証明しよう。

G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(h_i：L → G(i))_I を G の極限とする。
(Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I が
図式 Hom(X, G)：I → D の極限であることを証明しよう。

(Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は明らかに錐(過去スレ018の838)である。
(f_i：T → Hom(X, G(i)))_I を錐とする。
各 t ∈ T に対して (f_i(t)：X → G(i))_I は錐である。
よって、f(t)：X → L で f_i(t) = h_if(t) となるものが一意に存在する。
h_if(t + s) = f_i(t + s) = f_i(t) + f_i(s) = h_if(t) + h_if(s) = h_i(f(t) + f(s))
よって、>>87より、(h_i：L → G(i))_I は単湧き出しであるから
f(t + s) = f(t) + f(s) である。
よって、f：T → Hom(X, L) は Ab における射であり、
各 i に対して Hom(X, h_i)f = f_i となる。
このような f の一意性は各 t に対して f_i(t) = h_if(t) となる f(t) の
一意性からでる。
以上から (Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は lim Hom(X, G) である。
証明終