命題
Top を位相空間全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Top における吸い込み(>>16)とする。

X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相(>>70)と一致するためには
S が次の性質 (FT) をもつことが必要十分である。

(FT)：Z を位相空間とし、g：X → Z を写像とする。
g が連続であるためには各 g(f_i) が連続であることが必要十分である。

証明
必要性：
S が性質 (FT) をもつとする。
X の位相をτとする。
(f_i), i ∈ I に関する X の終位相をψとする。
σ を X の任意の位相とする。
性質 (FT) より X の恒等写像 1_X：(X, τ) → (X, σ) が連続であるためには
各 (f_i)：X_i → (X, σ) が連続であることが必要十分である。
よって、σ ⊂ τ と σ ⊂ ψ は同値である。
よって τ = ψ である。

十分性：
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相であるとする。
Z を位相空間とし、g：X → Z を写像とし、各 (f_i)g が連続であるとする。
U を Z の開集合としたとき各 i に対して (f_i)^(-1)(g^(-1)(U)) は X_i の開集合である。
よって、g^(-1)(U) は X の開集合である。
よって、g は連続である。
よって、S は性質 (FT) を満たす。
証明終