命題
アーベル圏(>>533)における次の図式が引き戻し(過去スレ017の866)であり、
k：K → Y は g の核であるとする。

　　u　　　f
K →　P　→ X
↓1　↓r　 ↓h
K →　Y　→ Z
　　k　　　g

このとき、k = ru と分解する。
ここで u = Ker(f) である。

証明
gk = 0 であるから、u：K → P で k = ru、fu = 0 となるものがある。
u = Ker(f) を証明しよう。
k は単射であるから k = ru より u も単射である。
fu = 0 であるから >>690の(2)を示せばよい。

s：T → P で fs = 0 となるものがあるとする。
hf = gr であるから hfs = grs = 0
よって、t：T → K で kt = rs となるものが存在する。
k = ru より rut = rs
一方 fut = 0 である。
>>87より引き戻しは単湧き出し(過去スレ018の715)であるから ut = s である。
証明終