命題(５の補題)
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
f, g, u, v が同型であれば h も同型である。

　a　　b　　c　　d
X → Y → Z → U → V
↓f　↓g　↓h　↓u　↓v
J → K → L → M → N
　p　　q　　r　　s

証明
>>585より、アーベル圏は平衡的であるから
双対原理(>>548)より h が単射であることを証明すればよい。

z を Z の要素(>>681)とし、hz ≡ 0 とする。
このとき、z ≡ 0 を証明すればよい(>>688)。
>>685より、hz = 0 である。
rh = uc だから rhz = ucz = 0
u は単射だから cz = 0 である。
>>690より、by ≡ z となる Y の要素 y がある。
>>687より、hby ≡ hz である。
qg = hb だから qgy = hby
よって、qgy ≡ hz = 0 である。
>>685より、qgy = 0 である。
>>690より、pj ≡ gy となる J の要素 j がある。
f は全射であるから>>689より j ≡ fx となる X の要素がある。
pj ≡ pfx = gax
よって gy ≡ gax である。
g は単射だから>>688より、y ≡ ax である。
by ≡ bax = 0 だから by = 0 である。
by ≡ z より z ≡ 0 である。
証明終