命題
アーベル圏(>>533)における次の図式を考える。

　　u
P　 → X
↓v　　↓f
Y　 → Z
　　g

r：P → X＋Y を r = <u, v> (過去スレ018の872) と定義する。
s：X＋Y → Z を s = [f, -g] (>>36)と定義する。

このとき以下が成り立つ。

(1) sr = 0 であるためには上の図式が可換であることが必要十分である。

(2) 0 → P → X＋Y → Z が完全であるためには上の図式が引き戻し(過去スレ017の866)
　　であることが必要十分である。

(3) P → X＋Y → Z → 0 が完全であるためには上の図式が押し出し(過去スレ017の867)
　　であることが必要十分である。

(4) 0 → P → X＋Y → Z → 0 が完全であるためには上の図式が
　　引き戻しかつ押し出しであることが必要十分である。

証明
p_1：X＋Y → X、p_2：X＋Y → Y を射影とし、
m_1：X → X＋Y、m_2：Y → X＋Y を入射とする。

(続く)