命題
C をアーベル圏(>>533)とする。
u：X → Z
v：Y → Z
p：Z → X
q：Z → Y
を C における射とする。

pu = 1_X
qv = 1_Y
かつ X → Z → Y 及び Y → Z → X は完全であるとする。
即ち、Im(u) = Ker(q) かつ Im(v) = Ker(p) である。

このとき、湧き出し(過去スレ018の713) (p：Z → X, q：Z → Y) は積である。

証明
f：T → X、g：T → Y に対して h = uf + vg とおく。
h：T → Z である。
ph = puf + pvg = f + 0 = f
qh = quf + qvg = 0 + g = g

このような h の一意性を示せばよい。
h’：T → Z が ph’= f、qh’= g を満たすとする。
r = h - h’とおく。
pr = 0、qr = 0 である。
r = 0 を示せばよい。

X → Z → Y は完全であり、u：X → Z は単射であるから u = Ker(q) である。
qr = 0 より、r = us となる s：T → X がある。
pu = 1_X より、s = (pu)s = p(us) = pr = 0
よって、r = 0
証明終