命題
C をアーベル圏(>>533)とする。

　　　　　f　　　g
0 → X → Y → Z

これが完全(>>651)であるためには、任意の T ∈ C に対して

0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であることが必要十分である。

証明
必要性：
>>655に注意すれば明らかである。

十分性：
0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であるとする。
Hom(T, X) → Hom(T, Y) は単射であるから f も単射である。

よって、f = Ker(g) を証明すればよい。

T = X とおけば、
0 → Hom(X, X) → Hom(X, Y) → Hom(X, Z) が完全なことより、
1_X の像を考えることにより gf = 0 である。
よって、
0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であることより f = Ker(g) である。
証明終