命題
アーベル圏(>>533) C における次の図式を考える。

　f　　g
X → Y → Z

この図式が完全(>>648)であるためには以下の条件が成り立つことが必要十分である。
(1) gf = 0
(2) h：X → Y が gh = 0 を満たせば h = mh’と分解される。
ここで、Im(f) = (m：I → Y) である。

証明
必要性：
上の図式が完全であるとする。

(1) の証明：Im(f) ≡ Ker(g) であるから gm = 0 である。
>>573より、f = mq と分解する。
よって、gf = gmq = 0
(2) の証明：h：X → Y が gh = 0 を満たすとする。
Im(f) ≡ Ker(g) であるから h = mh’と分解される。

十分性：
(1) と (2) が成り立つとする。
>>573より、f = mq と分解する。
(1) より、gf = gmq = 0
>>592より、q は全射であるから、gm = 0 である。
よって、Im(f) ≦ Ker(g) である。

h：K → Y を Ker(g) とする。
gh = 0 であるから (2) より、h = mh’と分解される。
よって、Ker(g) ≦ Im(f) である。
証明終