命題
C を加法圏(>>510)とする。
D を前加法圏(>>504)とする。
F：C → D を関手とする。

以下の条件は同値である。

(1) F は加法的である。

(2) F は有限積を保存する(>>289)。

(3) F は有限余積を保存する(>>290)。

証明
(1) ⇒ (3)
0 を C の零対象とする。
1_0 = 0 であるから
1_F(0) = F(1_0) = F(0) = 0
よって、F(0) は零対象である。

X, Y を C の対象とする。
m_1：X → X＋Y
m_2：Y → X＋Y
を入射(>>41)とする。

p_1：X＋Y → X を射 [1_X, 0] (>>36)とする。
p_2：X＋Y → Y を射 [0, 1_Y] (>>36)とする。

p_1m_1 = 1_X
p_2m_2 = 1_Y
である。
(続く)