補題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X＋Y が存在する。
(3) C の任意の対象 X、Y に対して標準射(>>550) X＋Y → X×Y は同型である。

X_i、i = 1、．．．、n を C の対象とする。
X = ΣX_i とおく。
m_i：X_i → X を入射とする。
X は (X_i) の直積と見なせるから p_i：X → X_i を射影とする。

>>563より、Hom(X, X) は可換モノイドとなる。
よって、Σm_ip_i が定義される。

このとき、Σm_ip_i = 1_X である。

証明
f = Σm_ip_i とおく。
>>561より、分配律が成り立つから、
各 k に対して fm_k = Σ(m_ip_i)m_k = m_k(p_km_k) = m_k
よって、各 k に対して fm_k = (1_X)m_k

一方、>>37より、(m_i：X_i → X) は全吸い込み(>>19)である。
よって、f = 1_X である。
証明終