命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X＋Y が存在する。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
　　C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

このとき標準射(>>550) f：X＋Y → X×Y は同型である。

証明
>>585より、C は平衡的であるから f が全単射であることを証明すればよい。

k：K → X＋Y を Ker(f) とする。
p_2：X×Y → Y を射影とする。
e = [0, 1_Y]：X＋Y → Y とおく。

(p_1)f = e である：
X＋Y → X×Y → Y = X＋Y → Y

よって、ek = (p_1)fk = 0 である。

μ：X → X＋Y を入射とすると、>>606より e：X＋Y → Y は Coker(μ) である。
>>583より、μ = Ker(e) である。
よって、k は μ に含まれる。
同様に k は入射 ν：Y → X＋Y に含まれる。
>>607より k = 0 である。
よって、f は単射である。

双対的に f は全射である。
証明終