命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

このとき、C における対象の任意の二つの部分対象は交わり(>>110)を持つ。

証明
２個の部分対象の交わりが存在することを

f：Y → X と g：Z → X を単射とする。
e：X → P を Coker(f) とする。
h：W → Z を Ker(eg) とする。

f は正規単射であるから>>583より f = Ker(e) である。
よって、k：W → Y で下の図式を可換にするものがある。

　h
W → Z
↓k　↓g
Y → X → P
　f　　e

W が f：Y → X と g：Z → X の交わりであることを証明しよう。
r：T → Y と s：T → Z を fr = gs となる射とする。
h = Ker(eg) であり、(eg)s = efr = 0 であるから
t：T → W で s = ht となるものが一意に存在する。
fr = gs = ght = fkt
f は単射だから r = kt
証明終