補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(ⅰ) ある小さい集合 I があり、Y は X^I の極値的部分対象(過去スレ018の646)となる。

(ⅱ) (Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出し(過去スレ018の755)である

証明
(ⅰ) ⇒ (ⅱ)
h：Y → X^I を極値的単射(過去スレ018の496)とする。
各 i ∈ I に対して π_i：X^I → X を射影とする。
過去スレ018の902より、(Y, (π_i)h)_I は極値的単湧き出しである。
J = {(π_i)h； i ∈ I} とおく。
J ⊂ Hom(Y, X) である。
よって、過去スレ018の807より、(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しである。

(ⅱ) ⇒ (ⅰ)
(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しであるとする。
各 f ∈ Hom(Y, X) に対して π_f：X^Hom(Y, X) → X を射影とする。
h：Y → X^Hom(Y, X) で各 f ∈ Hom(Y, X) に対して f = (π_f)h となるものが
一意に存在する。
過去スレ018の902より、h は極値的単射である。
よって I = Hom(Y, X) とおけばよい。
証明終