命題
C を前加法圏(>>504)とする。
Z を C の対象とするとき、次の条件は互いに同値である。

(ⅰ) Z は始対象(過去スレ017の288)である。

(ⅱ) Z は終対象(過去スレ017の288)である。

(ⅲ) Z は零対象(過去スレ017の791)である。

(ⅳ) 1_Z は零射(>>505)である。

(ⅴ) Hom(Z, Z) = 0

証明
(ⅰ) → (ⅴ)：自明である。
(ⅱ) → (ⅴ)：自明である。
(ⅴ) → (ⅳ)：自明である。

(ⅳ) → (ⅰ)：
f：Z → X を射とする。
f = f(1_Z) = 0
よって、Z は始対象である。

(ⅳ) → (ⅱ)：
f：X → Z を射とする。
f = (1_Z)f = 0
よって、Z は終対象である。

以上から (ⅰ)、(ⅱ)、(ⅳ)、(ⅴ) は互いに同値である。
よって、(ⅲ) もこれらと同値である。
証明終