補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で完備(過去スレ017の828)とする。
C が次の条件 (S) を満たせば、C は始対象(過去スレ017の288)を持つ。

(S) 小さい集合 I と C の対象の族 (W_i)_I があり
任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i：W_i → X がある。

証明
C は完備だから (W_i)_I の積 (p_i：W → W_i)_I が存在する。
条件 (S) より、任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i：W_i → X がある。
f = f_ip_i とおけば f：W → X である。
即ち Hom(W, X) は空でない。

C は局所的に小さいから Hom(W, W) は小さい集合である。
C は完備だから Hom(W, W) の多重差核(>>476) が存在する。
これを e：O → W とする。

(続く)