命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
η：1_C → GF と ε：FG → 1_D を自然変換とし、
(Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F が成り立つとする。

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X) により定義する。

φ_(X, M)：Hom(X, G(M)) → Hom(F(X), M) を
f ∈ Hom(X, G(M)) のとき φ(f) = (ε_M)F(f) により定義する。

このとき φ = ψ^(-1) であり、ψ は自然同型である。
よって、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

証明
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u)：X → GF(X) → G(M)
φ(ψ(u))：F(X) → FGF(X) → FG(M) → M

一方、ε は自然変換であるから次の図式は可換である。

F(X) → FGF(X) → FG(M)
　　　　　↓　　　↓
　　　　　F(X) → M

(εF)(Fη) = 1_F であるから、この図式の F(X) → FGF(X) → F(X) は 1_F(X) である。
よって、φ(ψ(u)) = u である。

同様に f ∈ Hom(X, G(M)) のとき ψφ(f) = f である。
よって、ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。
(続く)