命題
F: C → D を関手とする。
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
Set を集合の圏とする。
M ∈ D を固定する。
関手 Hom(M, F(-)): D → Set を H とおく。

X ∈ C とし、u ∈ H(X) = Hom(M, F(X))とする。
このとき、(X, u) が H の普遍元(過去スレ017の579)であることと、
(X, u) が M から F への普遍射(過去スレ017の572)であることは同値である。

証明
(X, u) が H の普遍元であるとは、
任意の Y ∈ C と H(Y) = Hom(M, F(Y)) の任意の元 v に対して
H(f)(u) = v となる射 f: X → Y が一意に存在することである。
これは (X, u) が M から F への普遍射であることを示している。
証明終