命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Set における吸い込み(>>16)とする。
S が全吸い込み(>>19)であるためには S が合併的に全射(>>)であることが
必要十分である。

証明
必要性：
S が全吸い込みであるとする。
X ≠ ∪f_i(X_i) として矛盾を示せばよい。
Y = ∪f_i(X_i) とおく。
u：X → {0, 1} を任意の x ∈ X に対して u(x) = 0 で定義する。
v：X → {0, 1} を y ∈ Y のとき v(y) = 0、y ∈ X - Y のとき v(y) = 1
で定義する。
u と v は Y で一致するから uS = vS であるが u ≠ v である。

十分性：
X = ∪f_i(X_i) とする。
u：X → T、v：X → T に対して uS = vS であるとする。
任意の x ∈ X に対して x = f_i(x_i) となる i ∈ I と x_i ∈ X_i がある。
uf_i = vf_i であるから u(x) = v(x) である。
よって u = v である。
よって、S は全吸い込みである。
証明終