代数的整数論 019
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0001１３２人目の素数さん
2010/03/25(木) 06:47:49Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0153Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 13:45:23H = G/N とおく。
f：G → H を標準写像とする。
C = {(x, y) ∈ G×G； x ≡ y (mod N)} = {(x, y) ∈ G×G； f(x) = f(y)}
とおく。
C は G×G の部分群である。
p_i, p_2 を射影 G×G → G とし、m：C → G×G を包含写像とする。
p = (p_1)m、q = (p_2)m とおく。
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。
p
C → G
↓q ↓f
G → H
f
0154Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 13:50:02定義
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとき、
対 (p, q) を f の合同関係と呼ぶ。
p
C → X
↓q ↓f
X → Y
f
0155Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 13:55:02次ぎのような射の対 (p, q) を考える。
p
C → X
↓q
X
対 (p, q) がある射 X → Y の合同関係(>>154)となるとき
対 (p, q) を合同関係と呼ぶ。
0156Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 14:25:54次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
f = Coker(p, q) (過去スレ017の850)である。
p
U → X
↓q ↓f
X → Y
f
証明
次の図式において f = Coker(r, s) とする。
r
T → X
↓s ↓f
X → Y
f
このとき、h：T → U で r = ph, s = qh となるものがある。
g：X → S を gp = gq となる射とする。
gr = gph = gqh = gs
よって、k：Y → S で g = kf となるものがある。
f は全射であるから k は g と f により一意に決まる。
よって f = Coker(p, q) である。
証明終
0157Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 14:44:28次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
この図式は押し出し四角形(過去スレ017の867)でもある。
p
U → X
↓q ↓f
X → Y
f
証明
次の図式は可換である。
1
X → X
↓1 ↓f
X → Y
f
ここで 1 は X の単位射である。
よって、h：X → U で ph = 1_X, qh = 1_X となるものがある。
(続く)
0158Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 14:45:14一方、次の可換図式を考える。
p
U → X
↓q ↓r
X → Z
s
rp = sq であるから
r = rph = sqh = s
>>156より、f = Coker(p, q) であるから
g：Y → Z で r = gf となるものがある。
f は全射であるから g は r と f により一意に決まる。
よって 本命題の主張が得られる。
証明終
0159１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 14:46:4419世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします
0160１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 14:48:14施策を実施している。これに伴って
奈良女子大学の数学教室が女性限定の人事・公募（具体的な内容は>>2以降に掲載予定)
を行うなど 女性限定公募の動きが、数学界でも広がっている。
院生の女性割合をはるかに超える女性を、大学教員に優先採用することは、
その分だけ、実力のある男性数学者のポストを奪うことになり、
日本の数学の研究のレベルの低下を招くだろう。
文部科学省のこの愚かな施策を放置しても良いのか？ 歴史の法廷に官僚は立てるのか？
本来、男女に関わりなく、業績で評価されて、アカポスに就くべきものだ。
これを施策で捻じ曲げてしまうことを、数学界は看過するのか？
財団法人 日本数学会はこのようなことを許すのか？
女性限定公募を行う数学教室は、公平な数学者の人事について責任ととれるのか？
ここでは全ての女性限定数学者の公募を転載し、結果を報告する。
この趣旨に賛同する方々のご協力をお願い致します。
関連スレ：
【いい気に】女性数学者の困ったところ２【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1253778453/
【いい気に】女性数学者の困ったところ１【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209592716/
研究業績の少ない大学教員名を晒す2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255962937/
日本の数学者の実力とデータベース
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255578159/
0161Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:07:56C を圏とする。
C において任意の差核(過去スレ017の772)が存在するとき C は差核をもつという。
0162Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:09:45C を圏とする。
C において任意の差余核(過去スレ017の850)が存在するとき C は差余核をもつという。
0163Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:13:24C を圏とする。
C において任意の2-吸い込み(>>16)の引き戻し(過去スレ017の866)が存在するとき
C は引き戻しをもつという。
0164Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:16:45C を圏とする。
C において任意の2-湧き出し(過去スレ018の713)の押し出し(過去スレ017の867)が
存在するとき C は押し出しをもつという。
0165Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:19:54C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の族の交わり(>>110)が存在するとき
C は交わりをもつと言う。
0166Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:22:19>>165において部分対象の族の添字の定義域は類(過去スレ017の323)であり
必ずしも小さい集合とは限らない。
0167Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:23:26C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の族の余交わり(>>143)が存在するとき
C は余交わりをもつと言う。
0168Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:24:37C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限個の交わりをもつと言う。
0169Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:25:27C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限個の余交わりをもつと言う。
0170Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/29(月) 15:34:52I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
Ob(I) と Hom(I) が有限集合のとき I を有限グラフと呼ぶ。
0171１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 15:36:44定理とかたまに出てくれば
証明は自明ｗＷＷＷ
0172１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 16:43:54春だからな｡
0173１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 16:56:35論文書いた？
0174β
2010/03/29(月) 17:03:13いつまで無意味なことを続けているんだｗ？
仕事さがせよｗ 無職なんだろｗ
0175１３２人目の素数さん
2010/03/29(月) 17:06:06くまものがたりの再開はまだ〜〜？
0176１３２人目の素数さん
2010/03/31(水) 05:00:59つまんねーし
0177Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:48:00C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とし
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
I が有限グラフ(>>170)のとき F を有限図式という。
0178Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:49:32C を圏とする。
任意の有限図式(>>177)の極限(過去スレ018の839)が存在するとき
C を有限完備(finitely complete)という。
0179Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:50:32C を圏とする。
C の任意の有限図式(>>177)の余極限(過去スレ018の847)が存在するとき
C を有限余完備(finitely cocomplete)という。
0180Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:53:27完備(過去スレ017の828)かつ交わりをもつ(>>165)圏は強完備(strongly complete)と呼ばれる。
0181Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:55:12余完備(過去スレ017の829)かつ余交わりをもつ(>>167)圏は強余完備(strongly cocomplete)と呼ばれる。
0182Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 05:56:35C を圏とする。
C の対象の族 (X_i)_I に対してその積(過去スレ018の858) Π(X_i)_I を
Π[i ∈ I]X_i とも書く。
同様に余積(>>35) Σ(X_i)_I を Σ[i ∈ I]X_i とも書く。
0183Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 06:01:51積(過去スレ018の910)と差核をもつ(>>161)圏は完備(過去スレ017の828)である。
証明
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
lim F を構成すればよい。
u ∈ Hom(I) に対してその定義域(source)を s(u) と書き、
値域(target)を t(u) と書いた(過去スレ017の325)。
P = Π[i ∈ Ob(I)]F(i) (>>182)とおく。
各 i ∈ Ob(I) に対して p_i：P → F(i) を射影とする。
Q = Π[u ∈ Hom(I)]F(t(u)) (>>182)とおく。
各 u ∈ Hom(I) に対して q_u：Q → F(t(u)) を射影とする。
f：P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
f
P → Q
↓p_t(u) ↓q_u 図式１
F(t(u)) → F(t(u))
1_F(t(u))
g：P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
g
P → Q
↓p_s(u) ↓q_u 図式２
F(s(u)) → F(t(u))
F(u)
(続く)
0184Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 06:04:30(K, m) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)とおく。
即ち次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
m f
K → P ⇒ Q
g
湧き出し(過去スレ018の713) ((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) が
lim F に等しいことを証明しよう。
u：i → j を I の任意の射とする。
F(u)((p_i)m)
= F(u)((p_s(u))m) ← i = s(u) より
= (q_u)gm ← 図式２の可換性より
= (q_u)fm ← m = Ker(f, g) より
= (p_t(u))m ← 図式１の可換性より
= (p_j)m ← j = t(u) より
よって、((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) は自然な湧き出し(>>86)である。
(h_i：T → F(i))_Ob(I) を自然な湧き出しとする。
h = <h_i> (過去スレ018の872) とおく。
u：i → j を I の任意の射とする。
(q_u)fh = (p_t(u))h = (p_j)h = h_j = F(u)(h_i)
(q_u)gh = F(u)((p_s(u))h) = F(u)((p_i)h) = F(u)(h_i)
よって、fh = gh
m = Ker(f, g) より、k：T → K で h = mk となるものが一意に存在する。
即ち、各 i ∈ Ob(i) に対して (p_i)mk = (p_i)h = h_i
よって、自然な湧き出し ((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) は lim F である。
証明終
0185Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 13:59:04定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限交わりをもつと言う。
0186１３２人目の素数さん
2010/03/31(水) 14:52:39そうだな
ないとつまんねえな
0187くまーものがたり
2010/03/31(水) 16:10:52みんなが学会に行っているあいだに 仕事 をしておかなくては！
俺さまの大事な 仕事 を理解しないやつらは
学会なんかで時間を潰している
くまーは優越感に浸りながら
自分が無職でよかったと思った
そして妻も子供も温かい家庭も
そんなものもたなくてよかったと思った
くまーは すっぱいぶどう が嫌いだった
つづく
0188Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 19:49:06定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限余交わりをもつと言う。
0189Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 19:55:41f:X → Y
g:X → Y
を射とする。
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。
u
P → X
↓v ↓<1_X, f>
X → X×Y
<1_X, g>
このとき u = v であり、(P, u) = Ker(f, g) である。
証明
p：X×Y → X
q：X×Y → Y
を射影とする。
p：X×Y → X
q：X×Y → Y
を射影とする。
p1_X, f>u = (1_X)u = u
p<1_X, f>v = (1_X)v = v
である。
一方、<1_X, f>u = <1_X, f>v であるから u = v である。
fu = q<1_X, f>u = q<1_X, g>u = gu である。
(続く)
0190Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 19:56:24h：T → X を fh = gh となる射とする。
p<1_X, f>h = h = p<1_X, g>h
q<1_X, f>h = fh = gh = q<1_X, g>h
よって、
<1_X, f>h = <1_X, g>h
よって、k：T → P で h = uk となるものが一意に存在する。
よって、(P, u) = Ker(f, g) である。
証明終
0191Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 19:59:59有限積(過去スレ018の911)と有限交わりをもつ(>>185)圏は差核をもつ(>>161)。
証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。
f:X → Y
g:X → Y
を C における射とする。
<1_X, f>：X → X×Y
<1_X, g>：X → X×Y
を過去スレ018の872で定義した射とする。
p<1_X, f> = 1_X は単射であるから <1_X, f> も単射である。
同様に <1_X, g> も単射である。
よって、<1_X, f> と <1_X, g> の交わり (P, h) が存在する。
即ち、次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。
P → X
↓ ↓<1_X, f>
X → X×Y
<1_X, g>
>>189より P → X は f と g の差核である。
証明終
0192Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 20:03:02積(過去スレ018の910)と有限交わりをもつ(>>185)圏は完備(過去スレ017の828)である。
証明
C を積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より C は差核をもつ。
よって、>>183より C は完備である。
証明終
0193Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 20:52:26完備かつ冪良(過去スレ018の650)な圏は強完備(>>180)である。
証明
C を完備かつ冪良な圏とする。
X を C の対象とし、(X_i, m_i)_I を X の部分対象の族とする。
C は冪良であるから小さい集合 J と X の部分対象の族 (Y_j, f_j)_J があり、
X の任意の部分対象 (Y, f) に対して j ∈ J があり、
(Y, f) と (Y_j, f_j) は同型となる。
よって、各 i ∈ I に対して α(i) ∈ J があり、
(X_i, m_i) と (Y_α(i), f_α(i)) は同型である。
C は完備であり、α(I) は小さい集合であるから (Y_α(i), f_α(i))_α(I) の
多重引き戻し(>>106)が存在する。
よって>>113より、(Y_α(i), f_α(i))_α(I) の交わり (Z, g) が存在する。
(Z, g) は (X_i, m_i)_I の交わりである。
よって、C は強完備である。
証明終
0194Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 20:57:07Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は積を持つ。
>>118より Set は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Set は冪良であるから>>193より強完備である。
0195Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 20:58:54Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は積を持つ。
>>120より Grp は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Grp は冪良であるから>>193より強完備である。
0196Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 21:03:06Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
Top は積を持つ。
>>119より Top は有限交わりをもつ。
よって、>>192より Top は完備である。
Top は冪良であるから>>193より強完備である。
0197Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 22:11:57C を順序集合とし圏と見なす(過去スレ017の281)。
C が完備であるためには C が完備束(過去スレ018の914)であることが必要十分である。
証明
必要性：
C が完備であるとする。
過去スレ018の916より C は完備束である。
十分性：
C が完備束であるとする。
C の元の任意の族 (x_i)_I に対して inf(x_i) は (x_i)_I の積である。
よって、C は積をもつ。
x を C の任意の元とする。
y と z を x の部分対象とする。
即ち、y ≦ x、z ≦ x とする。
inf(y, z) は y と z の交わりである。
よって、>>192より C は完備である。
証明終
0198Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 22:15:47余積(>>50)と有限余交わりをもつ(>>188)圏は余完備(過去スレ017の829)である。
証明
>>192と双対原理(過去スレ018の159)。
0199Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 22:18:39余完備(過去スレ017の829)かつ余冪良(過去スレ018の660)な圏は強余完備(>>181)である。
証明
>>193と双対原理(過去スレ018の159)。
0200Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 22:23:44Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は余積を持つ(>>69)。
>>151より Set は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Set は余冪良であるから>>199より強余完備である。
0201Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 22:26:19Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は余積を持つ(>>84)。
>>152より Grp は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Grp は余冪良であるから>>199より強余完備である。
0202Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 23:48:51余積(>>50)と差余核をもつ(>>162)圏は余完備(過去スレ017の829)である。
証明
>>183と双対原理(過去スレ018の159)。
0203Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/03/31(水) 23:55:21Set が余完備であることは、過去スレ017の852より Set が差余核をもつことと、
>>202からも分かる。
0204Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 00:01:02Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
X と Y を Top の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y； x ∈ X} とおく。
S で生成される Y の同値関係を R とする。
商空間 Y/R は Coker(f, g) (過去スレ017の850)である。
よって Top は差余核をもつ(>>162)。
0205１３２人目の素数さん
2010/04/01(木) 00:03:39おまえ才能ないよ
0206Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 00:06:16Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
>>74より、Top は余積を持つ。
>>204より、Top は差余核を持つ。
よって、>>202より Top は余完備である。
Top は余冪良であるから>>199より強余完備である。
0207１３２人目の素数さん
2010/04/01(木) 14:10:170208くまーものがたり
2010/04/01(木) 15:01:26くまーものがたりはいまだにつづく
いらいらする
だから みえみえの なりすましで
「おまえ才能ないよ」などと書いてはみたが
いつも自分に言われていることを自分自身に言ってしまったのだ
うっかりしていたが すぐに気を取り直して
自分自身に言い聞かせた
俺様は ブルバキや グロタンさまより
厳密に 数学を 再構成するのだ
この し ご と は 誰にも邪魔されない
いつものように 自惚れ鏡に みとれるくまーであった
誰にも邪魔されない
そして誰にも相手にされないのであった
つづく
0209Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 15:02:19CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差核を持つ(>>161)。
証明
f:X → Y
g:X → Y
を CTop における射とする。
K = {x ∈ X； f(x) = g(x)} とおく。
Y はHausdorffだから K は X の閉集合である。
よって、K はコンパクトである。
h：K → X を包含写像とすれば (K, h) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)である。
証明終
0210くまーものがたり
2010/04/01(木) 16:22:46くまーは他人にほめてもらいたくて焦っていた
俺様はこれだけながいあいだ スレを 19 も
潰しながら し ご と を続けてきた
誰か誉めてくれたっていいじゃないか
猫でもいい 誉めてくれ
そして自分の修士論文のことを思い出した
手書きの日本語だ
英語で書けばよかったなあ
でも 俺様は日本人だ
だから日本語で数学をするのだ
数学用語も き ち ん と 日本語に訳すのだ
でないと日本人になりすませないじゃないか
くまーは自分がどこの国籍だか忘れかけていた
つづく
0211Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 18:57:36CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Tychonoffの定理(過去スレ009の432)よりCTop は積を持つ(>>161)。
>>209より CTop は差核を持つ(>>161)。
よって、>>183より CTop は完備である。
CTop は冪良であるから>>193より強完備である。
0213１３２人目の素数さん
2010/04/01(木) 19:25:32猫に見下されて落ち込むなあ
すっごいダメージやなあ
(そういうのを反語っていうのよ)
猫に尊敬されるくまーはかわいそうやなあ
猫は自分の存在がすべてネガティブなものになっていることに
きづかないのかなあ
アホだなあ
0214くまーものがたり
2010/04/01(木) 19:30:11猫が尊敬してくれる
いくら猫でもいい
と
いったって
本当に書いたのは俺様じゃない
ねこって馬鹿だな
でもいいやつだな
友達になりたい
そして抱き合ってなめ回してあげたい
くまーはそんな妄想に耽るのであった
つづく
0215Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 19:32:51何故かというと命題の価値はその証明の難しさに比例するという誤った考えが
広まっているからである。
命題でなくてもある概念でも同じことが言える。
その概念の価値はそれを理解する難しさに比例するというわけである。
数学者でもこの考えを持っている人は多い。
この考えに対する反例はいくらでもある。
例えば圏論の応用であるホモロジー代数の個々の命題は自明なものが多い。
しかしこれを使って得られた定理にはそれなしには証明するのが非常に難しいものがある。
例えば Auslander-Buchsbaum による正則局所環が一意分解整域であるという命題がある。
彼らがホモロジー代数を使ってこれを証明するまでは伝統的な方法(Krull、永田)では
特殊な正則局所環に対してしか証明出来なかった。
また Serreによる正則局所環の局所化が正則局所環であるという定理もそうである。
ホモロジー代数を使えばこれは自然に証明されてしまう。
しかし伝統的な方法では非常に難しい。
現在でもホモロジー代数を使わない証明があるのかどうか私は知らない。
Dirichletの部屋割り論法もそうだろう。
これ自体は自明であるがこれを使って証明される整数論の命題には重要なものが多い。
逆に証明が難しくてもあまり価値のない命題というのがある。
例えば位相空間の距離付け可能性の必要十分条件を見つけるという問題があったが
その結果が後の数学に大きい影響を与えたとは思えない。
志村氏が「記憶の記憶の切繪図」という本の中で述べているが
Artin-Whaplesの定理もそうかもしれない。
これはある種の積公式の成り立つ体は代数体と有限体上の１変数代数関数体しかないというもの。
この結果が後の数学に大きい影響を与えたということはあまり聞かない。
４色問題もそうかもしれない。
0216Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/01(木) 19:37:440217１３２人目の素数さん
2010/04/01(木) 19:44:20> >>210
> ワシはクンマーさんを尊敬しますナ、アンタは心底から見下すけどやね。
俺はKummerを尊敬はしないが、少なくとも彼の情熱に感心はするね。
>>210は他人を貶す事しか出来ない人間の屑である事に異論はないよ。
ま、>>210はホモとかチョンとか言われても反論出来ない低レベルである事は間違いないな。
0218１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 01:42:01jien-ha-migurushii-zo
語るに落ちるとはこのことだよ
ホモとかチョンといわれて反論できないなどと書く人間性のほうが
低劣であることだけは間違いないなあ
0219１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 01:45:28数学者でもない人間がなにをえらそうなことをほざくんだ
0220１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 02:42:110221１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 02:46:06たしかに書き込み時間を見ると自演らしい。KUMMerさんって卑怯なんだな。がっかり。
0222Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 08:33:21X をコンパクト空間とする。
Y を Hausdorff空間とする。
f：X → Y を連続写像とする。
このとき f は閉写像である。
証明
C を X の閉集合とする。
X はコンパクトであるから C もコンパクトである。
よって、f(C) は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
Y はHausdorff空間であるから f(C) は Y の閉集合である。
よって、f は閉写像である。
証明終
0223１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 09:18:580224１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 09:20:240225１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 09:21:45ていうか、category theoryがどうたらということではなくて
くまがうざいし、うんこたれながすな
ということなんだがねｗ
そんなこともわからんのかなｗ
0226Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 12:04:16X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
f：X → X/R を標準写像とする。
このとき f は閉写像である。
証明
C を X の閉集合とする。
p：X×X → X と q：X×X → X を射影とする。
f^(-1)(f(C))
= {y； (x, y) ∈ R となる x ∈ C がある}
= q(p^(-1)(C) ∩ R)
R は閉集合だから p^(-1)(C) ∩ R は閉集合である。
>>222より q は閉写像であるから q(p^(-1)(C) ∩ R) = f^(-1)(f(C)) は閉集合である。
よって、f(C) は閉集合である。
証明終
0227Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 12:29:59X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
このとき商空間 X/R はコンパクト空間である。
証明
p：X → X/R を標準写像とする。
p は全射であるから X/R は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、X/R がHausdorff空間であることを証明すれば良い。
p(x) ≠ p(y) を X/R の２点とする。
p^(-1)(x) ∩ p^(-1)(y) = φ である。
p^(-1)(x) と p^(-1)(y) は X の閉集合である。
過去スレ007の664より、X は正規空間であるから
p^(-1)(x) ⊂ U、p^(-1)(y) ⊂ V、U ∩ V = φ となる
X の開集合 U, V がある。
>>226より p は閉写像である。
よって、過去スレ018の528より、p(x) ∈ W_1 となる X/R の開集合 W_1 で
p^(-1)(W_1) ⊂ U となるものがある。
同様に、p(y) ∈ W_2 となる X/R の開集合 W_2 で
p^(-1)(W_2) ⊂ V となるものがある。
p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = p^(-1)(W_1) ∩ p^(-1)(W_2) ⊂ U ∩ V = φ であるから
p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = φ である。
よって、W_1 ∩ W_2 = φ である。
よって、X/R はHausdorff空間である。
証明終
0228１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 12:34:25もどるのであった
0229Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 12:58:19CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差余核をもつ(>>162)。
証明
f：X → Y
g：X → Y
CTop における射とする。
S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y； x ∈ X} とおく。
S を含む X 上の同値関係で Y×Y の閉集合となっているもの全体の共通集合を R とする。
R は同値関係であり Y×Y の閉集合ある。
>>227より Y/R はコンパクト空間である。
p：Y → Y/R を標準射とすると、pf = pg である。
(p, Y/R) = Coker(f, g) を証明しよう。
h：Y → T を CTop における射で hf = hg とする。
P = {(y_1, y_2) ∈ Y×Y； h(y_1) = h(y_2)} とおく。
P は Y 上の同値関係であり、S ⊂ P である。
q：Y → Y/P を標準写像とする。
T はHausdorff空間だから P は閉集合である。
よって、R ⊂ P である。
よって、写像 u；Y/R → Y/P で q = up となるものが存在する。
q は連続であるから u も連続である。
一方、写像 v：Y/P → T で h = vq となるものが存在する。
h は連続であるから v も連続である。
k = vu とおけば k：Y/R → T は連続であり、kp = vup = vq = h である。
p は全射であるから kp = h となる k は h により一意に決まる。
よって、(p, Y/R) = Coker(f, g) である。
証明終
0230１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 13:06:18どうや？
0231Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 13:16:09CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は有限余積をもつ(>>51)。
証明
空集合は CTop の始対象である。
過去スレ017の848より、CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して
X と Y の余積が存在することを証明すれば良い。
P を X と Y の直和位相空間とすれば P はコンパクトである。
よって、P は X と Y の余積である。
証明終
0232Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 13:20:52CTop は無限個の対象の余積をもつことが知られている。
このことの証明は後で行う。
0233Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 13:27:13有限積と差核をもつ(>>161)圏は有限完備(>>178)である。
証明
>>183の証明と同様にすればよい。
0234Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 13:30:40有限積と有限交わりをもつ(>>185)圏は有限完備(>>178)である。
証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より、C は差核をもつ。
よって、>>233より C は有限完備である。
証明終
0235Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 13:44:26終対象と引き戻しをもつ(>>163)圏は有限完備(>>178)である。
証明
C を終対象と引き戻しをもつ圏とする。
e を C の終対象とする。
CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して X と Y の e 上のファイバー積(>>866)は
X と Y の積である。
よって、C は有限積を持つ。
f：X → Z
g：Y → Z
を Z の部分対象とする。
次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
P → X
↓ ↓f
Y → Z
g
P は (X, f) と (Y, g) の交わりであるから C は有限交わりをもつ(>>185)。
よって、>>234より C は有限完備(>>178)である。
証明終
0236１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 13:44:350237１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 13:46:59クマは仕事からも人生からも逃げているから、無理
0238Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 16:36:26f：X → Y を断面(過去スレ018の430)かつ全射とする。
このとき、f は同型である。
証明
f：X → Y を断面かつ全射とする。
gf = 1_X となる g：Y → X がある。
fgf = f である。
f は全射であるから fg = 1_Y である。
よって f は同型である。
証明終
0239Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 16:37:26f：X → Y を引き込み(過去スレ018の328)かつ単射とする。
このとき、f は同型である。
証明
>>238と双対原理(過去スレ018の159)。
0240Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 16:46:00f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
f = g であるためには差核 Ker(f, g) (過去スレ017の772)が同型であることが
必要十分である。
証明
必要性：
自明である。
十分性：
u：T → X を Ker(f, g) とし、u は同型であるとする。
fu = gu である。
f = fuu^(-1) = guu^(-1) = g
証明終
0241Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 16:48:59C を差核(>>161)と交わりを持つ圏(>>165)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における任意の吸い込み(>>16)とする。
このとき全吸い込み(>>19) E = (g_i：X_i → Y)_I と単射 m：Y → X があり
S = mE となる
証明
S = m_j(S_j) と分解されるような単射 m_j：Y_j → X の全体を J とする。
ここで S_j = (f_(i, j)：X_i → Y_j)_I は吸い込みである。
J は類(過去スレ017の323)である。
1_X は J に含まれるから J は空でない。
C は交わりを持つから J の交わり m：Y → X が存在する。
任意の m_j ∈ J に対して S = m_j(S_j) だから
各 i に対して f_i = (m_j)f_(i, j) である。
よって、g_i：X_i → Y で f_i = m(g_i) となるものがある。
E = (g_i：X_i → Y)_I とおけば S = mE である。
E が全吸い込みであることを示せばよい。
r：Y → T
s：Y → T
rE = sE
とする。
(K, u) = Ker(r, s) とする。
即ち次の図式が完全(過去スレ017の774)であるとする。
u
K → Y ⇒ X
(続く)
0242Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/02(金) 16:50:06rE = sE であるから E = uE’となる吸い込み E’がある。
S = mE = muE’である。
u は単射だから mu も単射である。
よって、mu = m_j となる m_j ∈ J がある。
m は J の交わりであるから m = m_jh_j となる射 h_j がある。
muh_j = m_jh_j = m
よって、uh_j は単位射である。
即ち u は引き込み(過去スレ018の328)である。
u は単射であるから>>239より u は同型である。
よって、>>240より r = s である。
よって E は全吸い込みである。
証明終
0243くまーものがたり
2010/04/05(月) 15:05:25病院から見る桜はもの悲しい
春の憂鬱である
いつまでやっても圏論はおわらない
なぜって圏論こそは数学のすべてだからだ
俺様はもっとも崇高な数学を記述しているのだ
しかし
だれも誉めてくれない
春なのに
猫もどこかへ行ってしまった
どぶにでも落ちてのたれ死にしたのだろうか
春なのに
だれも相手にしてくれない
つづく
0244１３２人目の素数さん
2010/04/05(月) 21:23:00受験数学なんて答えが（一つでなくても）最初から期待されている答えのある問題を解いてるだけだろ。そんなの数学じゃねーよw
数学ってのはだな、与えられた問題を解くんじゃなくて、問題を作るところから始まるものなんだぜ
わ か る か ゆ と りw
0245１３２人目の素数さん
2010/04/05(月) 21:30:050246１３２人目の素数さん
2010/04/05(月) 21:31:51ゆとりも
どっこい
どっこい
0247１３２人目の素数さん
2010/04/06(火) 00:08:120248Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/07(水) 03:12:18C を積を持つ圏(過去スレ018の910)とする。
I を集合とし J ≠ φ を I の部分集合とする。
このとき X^J から X^I (>>62)への断面(過去スレ018の430)が存在する。
証明
K = I - J とする。
K が空集合のときは本命題は自明であるから K ≠ φ と仮定する。
X^I = (X^J)×(X^K) である。
J は空でないから j_0 ∈ J がある。
p_(j_0)：X^J → X を第 j_0 成分への射影とする。
各 k ∈ K に対して q_k：X^K → X を第 k 成分への射影とする。
g：X^J → X^K を各 k ∈ K に対して (q_k)g = p_(j_0) となる射とする。
f = <1_X^J, g> (過去スレ018の872)とおく：f：X^J → (X^J)×(X^K)
π：(X^J)×(X^K) → X^J を射影とすれば
πf = 1_X^J である。
よって、f は断面である。
証明終
0249Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/07(水) 03:18:27C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積(過去スレ018の910)および
余分離対象(過去スレ018の219) S を持つ圏とする。
E = (f_i：X_i → X)_I を C における任意の小さい(>>16)全吸い込み(>>19)とする。
このとき X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象(過去スレ018の646)であるか
S^φ の部分対象である。
証明
E = (f_i：X_i → X)_I は全吸い込みであるから
Hom(X, S) → Π[i∈I]Hom(X_i, S) は単射である。
よって、>>248より Hom(X, S) ≠ φ であれば
S^Hom(X, S) は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象である。
一方、>>5より、X は S^Hom(X, S) の部分対象である。
よって、Hom(X, S) ≠ φ であれば X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象であり、
Hom(X, S) = φ であれば X は S^φ の部分対象である。
証明終
0250Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/07(水) 03:36:08C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余分離対象(過去スレ018の219) S を持ち、
冪良(過去スレ018の650)かつ完備(過去スレ017の828)とする。
このとき、C は余冪良(過去スレ018の660)かつ余完備(過去スレ017の829)である。
証明
e：X → Y を C における全射とする。
>>249より、Y は S^(Hom(X, S)) の部分対象であるか、S^φ の部分対象である。
C は冪良であるから S^(Hom(X, S)) および S^φ の部分対象の同型類全体は
小さい集合である。
よって C は余冪良である。
D：I → C を小さな図式(過去スレ017の834)とする。
C は冪良であるから S^(Π[i∈I]Hom(D(i), S)) の部分対象の同型類の全体は
小さい集合である。
同様に S^φ の部分対象の同型類の全体は小さい集合である。
この両者の各同型類から代表を選びその全体を Z とする。
Z の元を頂点にもつ余錐(過去スレ018の841) S_j = (f_(i, j)：D(i) → X_j)_I 全体を
G = {S_j；j ∈ J} とする。
G は小さい集合である。
P = Π[j∈J]X_j とおき、p_j：P → X_j を射影とする。
各 i ∈ I に対して (f_(i, j)：D(i) → X_j)_J は湧き出しであるから
f_i：D(i) → P で (p_j)f_i = f_(i, j) となるものがある。
T = (f_i：D(i) → P)_I とおけば、各 j に対して S_j = (p_j)T である。
u：i → k を I における射とする。
各 j ∈ J に対して S_j は余錐であるから
(p_j)(f_k)D(u) = (p_j)(f_i) である。
よって、(f_k)D(u) = f_i である。
よって、T は余錐である。
(続く)
0251Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/07(水) 03:36:52>>241より 全吸い込み L = (g_i：D(i) → X)_I と単射 m：X → P があり
T = mL となる。
L = colim D (過去スレ018の847)であることを証明しよう。
T は余錐であり m は単射だから L も余錐である。
M = (h_i：D(i) → Y)_I を余錐とする。
>>241より 全吸い込み E と単射 n があり
M = nE となる。
>>249より、同型 h と j ∈ J があり、E = hS_j となる。
M = nhS_j = nh(p_j)T = nh(p_j)mL
よって、f = nh(p_j)m とおけば M = fL である。
L は全吸い込みであるから f は M と L により一意に決まる。
よって、L = colim D である。
証明終
0252Kummer ◆g2BU0D6YN2
2010/04/07(水) 03:42:56CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>211より CTop は完備である。
CTop は冪良(過去スレ018の650)であるから>>250より余完備である。
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