命題
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, f) と (X’, f’) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。
このとき (X, f) と (X’, f’) は同型(過去スレ018の656)である。

証明
>>113より、湧き出し S = (f_i：X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻し(>>106)となる。
同様に湧き出し S’ = (g_i：X’ → X_i)_I があり (f’, S’) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻しとなる。

吸い込み (m_i：X_i → Y)_I を F とおく。
F は考えている圏における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
(f, S) は lim F (過去スレ018の839)であるから
Cone(F) (過去スレ018の840)の終対象(過去スレ017の288)である。

同様に (f’, S’) は Cone(F) の終対象である。

よって、(f, S) および (f’, S’) は Cone(F) の対象として同型である。
よって、同型 h：X → X’で f = f’h となるものが存在する。
よって、(X, f) と (X’, f’) は Y の部分対象として同型である。
証明終