すみません、背景を理解されている方には伝わるかと思ったのですが、
そうでない方もいらっしゃるようで、言葉不足でした。
示していただきたいのは：
正定値行列Aについて、
A=B^2を満たすような、
正定値行列Bは唯一であることを示せ
以上

Bが正定値でないと仮定すれば、たとえば
（
1/2 & 1/4 \\
3 & -1/2
)
の二乗は単位行列になりますから、一意でないことは明らかです。
同様に±の議論も筋違いです。
また、このようなBが存在することは>>483より明らかです。