命題
C を積をもつ圏(>>910)とする。
I を小さい集合とし、
(f_i：X_i → Y_i)_I と (g_i：X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
k_i：K_i → X_i を f_i と g_i の差核(過去スレ017の772)とする。

このとき Πk_i：ΠK_i → ΠX_i は Πf_i と Πg_i の差核である。

証明
p_j：ΠX_i → X_j
q_j：ΠY_i → Y_j
r_j：ΠK_i → K_j
を射影とする。

ΠK_i → ΠX_i ⇒ ΠY_i
↓　　　　↓　　　　↓
K_i　 →　X_i　⇒　Y_i

>>920より、
Πf_iΠk_i = Πf_ik_i
Πg_iΠk_i = Πg_ik_i

f_ik_i = g_ik_i であるから Πf_iΠk_i = Πg_iΠk_i

h：T → ΠX_i を (Πf_i)h = (Πg_i)h となる射とする。
f_ip_ih = g_ip_ih
よって h_i：T → K_i で p_ih = k_ih_i となるものがある。
u = <h_i> (>>872)とおく。
p_j(Πk_i)u = k_jr_ju = k_jh_j = p_jh
よって (Πk_i)u = h
>>923より Πk_i は単射であるから (Πk_i)u = h となる射 u は一意である。
証明終