命題
Top を位相空間全体の圏とする。
S = (f_i：X → X_i)_I を Top における湧き出し(>>713)とする。

X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の始位相(>>769)と一致するためには
S が次の性質 (IT) をもつことが必要十分である。

(IT)：Z を位相空間とし、g：Z → X を写像とする。
g が連続であるためには各 (f_i)g が連続であることが必要十分である。

証明
必要性：
S が性質 (IT) をもつとする。
X の位相をτとする。
(f_i), i ∈ I に関する X の始位相をιとする。

σ を X の任意の位相とする。
性質 (IT) より X の恒等写像 1_X：(X, σ) → (X, τ) が連続であるためには
各 (f_i)：(X, σ) → X_i が連続であることが必要十分である。
即ち τ ⊂ σ であるためには σ が (f_i)^(-1)(U) の形の部分集合をすべて含むことが
必要十分である。
ここで U は X_i の開集合である。
よって、τ ⊂ σ と ι ⊂ σ は同値である。
よって τ = ι である。

十分性：
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の始位相であるとする。
Z を位相空間とし、g：Z → X を写像とし、各 (f_i)g が連続であるとする。
U を X_i の開集合としたとき g^(-1)((f_i)^(-1)(U)) は Z の開集合である。
X の位相は (f_i)^(-1)(U) の形の部分集合で生成されるから g は連続である。
よって、S は性質 (IT) を満たす。
証明終