命題
C を基点をもつ圏(>>618)とする。
f：X → Y
g：Y → Z
を C における射で、g は単射とする。

このとき、f = Ker(g) となるためには X が零対象であることが必要十分である。

証明
必要性：
f = Ker(g) とする。
h：X → Yを零射(>>589)とする。
gf および gh は零射であるから g が単射であることより f = h である。
よって f は零射である。
u：T → X を任意の射とする。
gfu は零射であるから f = Ker(g) より v：T → X で fv = fu となるものが
一意に存在する。
f は零射であるから fu は零射である。
よって、v の一意性から v は零射である。
一方、f は単射であるから v = u である。
よって、u は零射である。
よって、X は C の終対象(過去スレ017の288)である。
>>640より X は C の零対象である。

十分性：
X が零対象であるとする。
f は零射であるから>>639より gf も零射である。
h：T → Y で gh が零射とする。
g は単射であるから h は零射である。
よって、h は合成射 T → X → Y である。
よって f = Ker(g) である。
証明終