命題
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Haus における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f(X) が Y で稠密であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射であるとする。
A を f(X) の閉包とし、A ≠ X とする。
h：A → X を包含写像とする。
Z = (X＋X)_h (>>510)と置く。
>>529より Z はHausdorff空間である。

p：X＋X → Z
μ_1：X → X＋X
μ_2：X → X＋X を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、pμ_1f = pμ_2f である。
A ≠ X であるから pμ_1 ≠ pμ_2 である。
これは f が圏論的に全射であることに矛盾する。

十分性：
>>413で証明済み。
証明終