補題
X と Y を位相空間とする。
f：X → Y を閉写像とする。
S を Y の部分集合とする。
U を X の開集合で f^(-1)(S) ⊂ U とする。

このとき、Y の開集合 V で S ⊂ V かつ f^(-1)(V) ⊂ U となるものがある。

証明
V = Y - f(X - U) とおけば V は開集合である。
f^(-1)(S) ⊂ U であるから S ∩ f(X - U) は空である。
よって、S ⊂ V である。

一方、f^(-1)(V) = X - f^(-1)f(X - U) ⊂ X - (X - U) = U
証明終