命題
Top を位相空間の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が正則な単射であるためには f が X と Y の部分空間 f(X) の同型であることが
必要十分である。

証明
必要性：
f が正則な単射であるとする。
次の完全な図式(過去スレ017の774)がある。
X → Y ⇒ Z
ここで、Y ⇒ Z は二つの射 u、v を表す。

K = {y ∈ Y；u(y) = v(y)} とおく。
K に Y の部分位相を入れ位相空間と見なす。
包含写像 ι：K → Y は差核 Ker(u, v) であることは見やすい。
よって差核の一意性より f(X) = K であり、f は X と K の同型を与える。

十分性：
f が X と Y の部分空間 f(X) の同型であるとする。
商空間 Y/f(X) (>>402)を考える。
p：Y → Y/f(X) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を定値写像 h(y) = p(f(x)) とする。
f(X) = {y ∈ Y；p(y) = h(y)} である。
よって、(X, f) = Ker(p, h) である。
証明終