補題
H を群とし、K をその部分群とする。
このとき群 G と準同型 f：H → G、g：H → G があり、
K = {h ∈ H； f(h) = g(h)} となる。
即ち K = Ker(f, g) (過去スレ017の772)である。
H が有限群のときは G は有限群にとれる。

証明
H/K = {hK；h ∈ H} を K による左剰余類の集合とする。
S = H/K ∪ {*} とおく。
ここで * は S に含まれない元である。
G = Aut(S) とおく。
ここで Aut(S) は S の置換全体のなす群である。

準同型 f：H → G を f(h)(h’K) = hh’K、f(h)(*) = * により定義する。

σ ∈ G を σ(*) = K、σ(K) = *、hK ≠ K のとき σ(hK) = hK となる置換とする。
準同型 g：H → G を g(h) = σf(h)σ^(-1) で定義する。

h ∈ K のとき
g(h)(*) = σf(h)σ^(-1)(*) = σf(h)(K) = σ(hK) = σ(K) = *
g(h)(h’K) = σf(h)σ^(-1)(h’K) = σf(h)(h’K) = σ(hh’K) = hh’K

h ∈ H - K のとき
g(h)(*) = σf(h)σ^(-1)(*) = σf(h)(K) = σ(hK) = hK ≠ K

よって K = {h ∈ H； f(h) = g(h)} である。
証明終