命題
TorFr を捩れのないアーベル群(>>419)全体の圏とする。
f：X → Y を TorFr における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
Y/f(X) が捩れ群(>>419)であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
Z = Y/f(X) が捩れ群でないとして矛盾を導けばよい。
t(Z) を Z の最大捩れ部分群(>>420)とする。
仮定より Z ≠ t(Z) である。
Z/t(Z) は捩れのない群である。
π：Z → Z/t(Z) を標準射とする。
p：Y → Z を標準射とする。
u = πp：Y → Z/t(Z) とおく。
uf = 0 である。
u ≠ 0 であるから f は圏論的に全射でない。
これは矛盾である。

十分性：
Y/f(X) が捩れ群とする。
u：Y → T
v：Y → T
を TorFr における射で uf = vf とする。
h = u - v とおく。hf = 0 である。
y を Y の任意の元とする。
Y/f(X) が捩れ群であるから y^n ∈ f(X) となる整数 n ＞ 0 がある。
hf = 0 であるから h(y^n) = h(y)^n = 0 である。
T は捩れのない群であるから h(y) = 0 である。
よって、h = 0 である。よって u = v である。
証明終