>>401の修正

>>384の別証

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。

p：Y → Y/f(X) (>>402) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を任意の y ∈ Y に対して h(y) = {f(X)} により定義する。
h は定値写像であるから連続である。
pf = hf であるから p = h である。
一方、f(X) ≠ Y であるから p は定値写像ではない。
これは矛盾である。

十分性：自明である。
証明終