命題
Top を位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
{a, b} を相異なる２点からなる密着空間とする。
u：Y → {a, b} を任意の y に対して u(y) = a で定義する。
v：Y → {a, b} を y ∈ f(X) のとき v(y) = a、
y ∈ Y - f(X) のとき v(y) = b で定義する。
{a, b} は密着空間であるから u, v は連続である。
uf = vf であるから u = v である。
よって f(X) = Y である。

十分性：自明である。
証明終