命題
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
(R-Mod)-射 f：X → Y が断面であるためには
f が単射で f(X) が直和因子であることが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
過去スレ017の347より f は単射である。
gf = 1_X となる射 g：Y → X がある。
このとき Y = f(X) + Ker(g) (直和) となることを証明しよう。
y ∈ Y に対して y = f(g(y)) + y - f(g(y)) であり、
f(g(y)) ∈ f(X)、y - f(g(y)) ∈ Ker(g) である。
f(x) ∈ f(X) ∩ Ker(g) なら x = g(f(x)) = 0
よって、f(x) = 0 となり、f(X) ∩ Ker(g) = 0 である。
以上から Y = f(X) + Ker(g) (直和) でる。

十分性：
f が単射で f(X) が直和因子であるとする。
Y = f(X) + Z (直和) となる Y の部分加群 Z がある。
p：Y → f(X) を射影とする。
g = f^(-1)p とおけば gf = 1_X である。
証明終