命題
Top_0 を T_0 空間(>>223)全体の圏とする。
Top_0 の対象 S が Top_0 の余分離対象(>>219)であるためには
S が T_1 空間(>>233)でないことが必要十分である。

証明
T_0 空間 S が T_1 空間でないとする。
{a} が閉集合でないような a ∈ S がある。
よって、b ≠ a かつ b ∈ {a}~ となる S の元 b がある。

f：X → Y、g：X → Y を (Top_0)-射で f ≠ g とする。
f(x_0) ≠ g(x_0) となる x_0 ∈ X がある。
Y は T_0 空間であるから f(x_0) を含む開集合 W で g(x_0) を
含まないものがあると仮定してよい。

写像：Y → S を
y ∈ W のとき h(y) = a
y ∈ Y - W のとき h(y) = b
により定義する。

y ∈ W のとき h(y) = a の任意の近傍 U に対して h(W) = {a} ⊂ U であるから
h は y で連続である。
y ∈ Y - W のとき b ∈ {a}~ より h(y) = b の任意の近傍 U に対して
a ∈ U である。
よって h(Y) ⊂ U である。
よって、h は y で連続である。
以上から h は連続写像である。

hf(x_0) = a、hg(x_0) = b であるから hf ≠ hg となる。
よって、>>220より S は Top_0 の余分離対象である。

(続く)