>>140の双対

命題
C を圏 D の余反射的部分圏(>>147)とする。

各 D-対象 X に対象に対して X の C-余 c_X：X＾ → Xを選ぶ(選択公理)。
F(X) = X＾とおく。
f：X → Y を D-射とすると、次の図式を可換にする C-射： F(f)：F(X)→ F(Y) が
一意に存在する。

F(X)→ F(Y)
↓　　 ↓
X　 → Y

このとき F：D → C は関手である。

証明
各 D-対象 X に対して F(1_X) = 1_F(X) は F(1_X) の一意性から明らかである。

f：X → Y と g：Y → Z を D-射とする。
次の図式の左右の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、F(gf) の一意性より、F(gf) = F(g)F(f) である。

F(X)→ F(Y)→ F(Z)
↓　　 ↓　　　↓
X　 → Y　 →　Z
証明終