＞ 連続で非有界な一様分布が存在しない

封筒の問題だけに限定して高校生にもわかるようなレベルでやるなら 以下で十分だと思われる。

正の実数について一様に分布するということは
ア) 確率変数 p(x) {x>0} は定数関数p(x)=a {0≦a≦1}  
イ) p(x)を 正の実数全体の範囲(0<x<∞)で定積分すると1

ここで、ア)の p(x)=aを不定積分すると P（x)= ax+c となる。
この結果を利用し正の実数全体の範囲(0<x<∞)で定積分すると
これは aが0ならば0、a>0ならば∞にしかならず、先のイ)と矛盾。