私が思うに整数は正か負かの２通りしか成立しないです
（0は特殊なのでひとまず置いておくとして、正と負だけで考えます）
もしも整数の間に積を考えるのならば、
積として作られる整数も正か負のいずれかです
考えられる組み合わせは以下のとおりです

（正、負→・・・）と（負、正→・・・）は同じとして、
（正、正→・・・）（負、負→・・・）が矛盾せず、正負を生成する組み合わせは以下6つ
（正、正→正）（正、負→正）（負、負→負）
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→負）
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→正）
（正、正→負）（正、負→正）（負、負→負）
（正、正→負）（正、負→正）（負、負→正）
（正、正→負）（正、負→負）（負、負→正）
正負を入れ替えたものを同一視すると半分の3つ
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→負）
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→正）
（正、正→負）（正、負→正）（負、負→正）

正の整数と負の整数は同数あるから
正と負の整数を1つだけ取り出して、
それを生成する整数の対応を考えていくと（樹形図を描くとわかりやすい）
（正、正→負）（正、負→正）（負、負→正）は余裕で没
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→負）は（正、負→負）のために駄目
（正、正→正）（正、負→負）（負、負→正）だけ成立