>>67
> この一致って凄いよな
> どうなってるんだろう

単体を組合せ論的に扱うことなんて極めて当たり前なことなのにね。
n-単体の辺 k-単体はn単体が持つn+1個の頂点から辺単体を
構成するのに使うk+1個の頂点を選べば決まるから二項係数が
出てきて当然だよ。
そのページの主は+1が付くのがきもちわるいと思ってるみたいだけど
ユークリッド的にnなものののアフィン的な対応物に余分な+1がつくのは
これも割と自然だと思う。

>>69
別にそうでもないよ、たとえば多項式の次数だって、
0でない定数多項式の次数は1だけど、零多項式の次数だけは
−∞ と定義する。こうすると多項式の積の次数は
それぞれの多項式の次数の和になるというのが例外無しに言える;
どんな自然数or0or−∞に対しても
[(n次式)*(−∞次式)=−∞次式]
ので便利だけど、−3次の多項式とかはそもそも無いので
定義しなくてもいい。

どうしても、−n-次元とかを擬空間として扱いたいなら、
>>67のリンク先の主がやろうとしてるみたいに、
パスカルの三角形（を負の方向にも拡張したもの、負の二項係数？）を使って
−n-単体の数とかを決めてやればいいんじゃないかな。